從聚餐題看算力浪費：如何用「基準差額」秒殺不定方程

(來源：台東市東海國中九年級蕭同學)

一、 直覺盲區

【經典題型】
六曜簡餐店菜單：豬排飯 150 元、牛肉麵 160 元、海鮮飯 180 元（不收服務費）。
12 人聚餐每人單點一份，每種餐點至少 2 人選擇，且每種份數皆不相同。若餐費共 1920 元，下列敘述何者正確？
(A) 最多人選牛肉麵，選豬排飯比牛肉麵少 2 人
(B) 最多人選牛肉麵，選豬排飯比海鮮飯多 1 人
(C) 最多人選豬排飯，選豬排飯人數是牛肉麵的 2 倍
(D) 最多人選豬排飯，選豬排飯人數是海鮮飯的 2 倍

常態的「算力浪費」：

看到三種餐點與總金額，多數人本能地設定三個未知數，列出三元一次聯立方程：

• x + y + z = 12
• 150x + 160y + 180z = 1920

三個未知數對應兩個等式，屬於典型的不定方程。在考場高壓下，盲目代入消去只會引入多餘的四則運算，大幅增加計算失誤的脆弱性。

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二、 減法原則 ：用基準扣除完成問題降維

面對此類題型，最高效的策略是小學的「雞兔同籠」思維——先扣除全體底線，只處理增額差值。

1. 設定全體基準線：
   假設 12 人全點最便宜的豬排飯（150 元）：
   12 × 150 = 1800 元
2. 提取真實差額：
   總金額 1920 元與基準線的差距僅有：
   1920 − 1800 = 120 元
3. 降維至二元差額式：
   牛肉麵每碗多出 160 − 150 = 10 元；海鮮飯每碗多出 180 − 150 = 30 元。
   設牛肉麵 x 碗、海鮮飯 y 碗，算式直接降維：
   10x + 30y = 120 ⟹ x + 3y = 12

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三、 約束條件過濾：整數解的唯一鎖定

利用題目給予的邊界條件剔除無效解：

• 下限約束： 每種餐點至少 2 份（x ≥ 2，y ≥ 2，豬排飯 ≥ 2）。
• 互異約束： 三種餐點份數互不相等。

由 x = 12 − 3y 進行列舉檢驗：

海鮮飯 (y)	牛肉麵 (x)	豬排飯 (12 − x − y)	條件判定
1	9	2	❌ 海鮮僅 1 份（違反「至少 2 份」）
2	6	4	✔️ 完全合規（皆 ≥ 2，且 4 ≠ 6 ≠ 2）
3	3	6	❌ 牛肉、海鮮皆 3 份（違反「份數互異」）
≥ 4	≤ 0	—	❌ 份數非正數

唯一整數解：牛肉麵 6 份、豬排飯 4 份、海鮮飯 2 份。

檢驗選項：

• 最多人選擇的是牛肉麵（6 份）。
• 選擇豬排飯的人數（4 份）比牛肉麵（6 份）少 2 人。

正確選項為 (A)。

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四、 終局對齊的認知盲區

分析真實試卷作答軌跡時，常見此類現象：草稿欄俐落寫出 12 × 150 = 1800、列出 x + 3y = 12，並精準求得 (4, 6, 2)，最終劃記卻圈選了 (C) 或 (D)。

成因分析：
大腦在完成複雜度最高的邏輯推導後，認知資源瞬間釋放，在最後將「數量解」對照回「題幹品項」時失去警覺，誤將中間運算量（如豬排飯的份數）直覺當成極值。

防禦規範：

1. 主詞落筆錨定： 算出數字當下，在旁強制加註文字標籤（牛 6、豬 4、海 2），不依賴暫存記憶。
2. 選項前半句先決排除： 檢驗選項先看主詞前綴（「最多人選擇牛肉麵」vs「最多人選擇豬排飯」），直接劃除 (C)、(D)，鎖定 (A)、(B) 核對差額，阻斷後續混淆。