從 111 會考幾何題，看「減法思維」如何破解幾何盲點

(來源：師大附中國中部九年級江同學)

一、 題目直覺盲區

【111 年國中教育會考】
△ABC 的邊上有 D、E、F 三點，各點位置如圖所示。若 ∠B = ∠FAC，BD = AC，∠BDE = ∠C。若 BE = 7、EF = 4、FC = 5，求四邊形 ADEF 與 △ABC 的面積比為何？
(A) 1 : 3 (B) 1 : 4 (C) 2 : 5 (D) 3 : 8

學生最容易陷入的「加法陷阱」：

多數人在考場上一看到要求「四邊形 ADEF 的面積」，第一反應往往是「增加動作」：

1. 嘗試畫輔助線，試圖把不規則四邊形切成兩個三角形。
2. 嘗試計算線段 DE 的長度，或推導四邊形內部的高。
3. 盲目列出相似三角形的邊長比例式，展開冗長且容易出錯的代數運算。

幾何解題中最常見的脆弱性，就是「企圖直接計算目標，反而引入大量不需要的中間未知數」。

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二、 減法原則：不規則區域的本質是「扣除」

四邊形 ADEF 是一個不規則圖形，直接求面積的公式並不存在。
解構這題的第一步，不是建構，而是排除：

四邊形 ADEF = △ABC − △BDE − △ACF

只要能掌握兩側小三角形占整體 △ABC 的比例，中間的不規則區域便自然浮現，完全不需要探究四邊形內部的細部尺寸。

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三、 關鍵：看穿隱藏在「相似」外表下的「全等」

題目給了三組核心條件：

1. ∠B = ∠FAC（對應角相等）
2. ∠BDE = ∠C（對應角相等）
3. BD = AC（夾在兩角之間的對應邊相等）

多數人直覺以為這是一道常見的「AA 相似」比例題，但一對等長邊 BD = AC 直接將關係鎖定為「ASA 全等」：

△BDE ≅ △ACF

這項性質帶來兩個決定性的簡化：

• 面積完全對等： Area(△BDE) = Area(△ACF)。
• 對應邊長相等： AF = BE = 7，DE = CF = 5。

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四、 極簡推導

觀察 △ACF 與大三角形 △ABC：兩者共用頂點 A，對底邊 BC 的高完全相同，面積比等於底邊長度比。

1. 底邊總長度：
   BC = BE + EF + FC = 7 + 4 + 5 = 16
2. 右側面積占比：
   Area(△ACF) / Area(△ABC) = FC / BC = 5 / 16
3. 左側面積占比：
   因 △BDE ≅ △ACF，故 Area(△BDE) / Area(△ABC) = 5 / 16
4. 目標區域占比：
   四邊形 ADEF / △ABC = 1 − (5 / 16) − (5 / 16) = 6 / 16 = 3 : 8

正確答案為 (D)。

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五、 反思

檢視學生的手寫筆記時，常會發現一個有趣的現象：學生明明已經在草稿上精準推導出 6 : 16 = 3 : 8，且初步選了 (D)，旁邊卻往往留有猶豫塗改或懷疑的痕跡。

當解題路徑過於俐落時，缺乏安全感的考生反而會懷疑自己「是不是算得太簡單了」，進而回頭跳進複雜的代數陷阱中。

幾何論證的強韌性，不在於使用了多繁複的公式，而在於：

• 結構辨識： 看到兩角與夾邊，直接判定全等，不浪費精力計算多餘長度。
• 減法思維： 面對不規則圖形，優先以全體扣除邊緣，杜絕無謂的運算干擾。